状态估计理论体系下的“滤波”概念

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“滤波”的常见误解

在接触状态估计的相关理论之前，估计有不少人对于“滤波”一词的理解都是：

给定一个信号，在时域上绘制出来之后“锯齿状”比较严重，那就用一个滑动窗口求一下均值，使得信号曲线更加平滑，这个过程就叫做“滤波”，对应的滤波器就是最基础的均值滤波器。

但是，开始接触到所谓的卡尔曼滤波器、贝叶斯滤波器这些针对状态估计而产生的概念之后，就发现此前对于“滤波”这一概念的理解需要扩展一下才能适应。

状态估计理论体系下的滤波

在状态估计理论中，核心任务是知道某个时刻下，目标系统的某个状态。想要知道这个状态，势必要进行观测。

在实际工程中，目标状态往往不能直接通过观测得到。比如某个加热炉中心的温度(高到爆表)，我们可以通过观测炉表面的温度，来估计中心温度。这种做不到直接观测的目标状态，可以称其为隐状态。

现在假设我们针对这个系统在时间轴上进行了一系列观测，得到：$y_1$，$y_2$，$y_3$，… ，$y_k$。然后，我们要使用这些观测值，来估计$k$时刻的隐状态$x_k$。

如果，我们只是用到了$y_1$，…，$y_d$这些观测，那么

  1. 当$d < k$时，我们称这个做法叫预报（predicting）;
  2. 当$d > k$时，我们称这个做法叫平滑（smoothing）;
  3. 当$d = k$时，我们称这个做法叫滤波（filtering）;

也就是说，此前理解的“滤波”，在状态估计的语境下，其实更接近与平滑。