前言

没记错的话，点到直线距离的求解应该是一个初中几何的基础问题，不难，但是用代码实现的时候还是需要认真思考一下才写出来。。

首先定义一下问题：

• 已知： 三个点的坐标，$P(x_1, y_1)$, $Q(x_2, y_2)$, $M(x, y)$
• 求解： 求点$M$到直线$PQ$的最短距离$d$

基础知识

回忆初中知识，解这个问题需要先从$M$点向$PQ$做垂线，得到垂足$N$，线段$MN$的长度即为所求。

推导过程不是重点，直接上结论，想回忆回忆的话可以看这个

$$d = \frac{\lvert Ax + By + C \lvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

式中，$ABC$是直线$PQ$的一般式方程参数。因为这里已知的是直线上的两点，所以可以先求直线的两点式方程，然后再转化为一般式方程。这也是个基础问题，现成的结论是：

$$A = y_2 - y_1$$ $$B = x_1 - x_2$$ $$C = x_2 y_1 - x_1 y_2$$

将$ABC$代入距离公式化简之后，可以得到：

$$d = \frac{\lvert A(x - x_1) + B(y - y_1)\lvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

令

$$M = x - x_1$$ $$N = y - y_1$$

则有

$$d = \frac{\lvert AM+ BN \lvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

由于一般式方程在直线平行于坐标轴时是适用的，因此这个公式在这种情况下也是适用的

代码实现

根据上面最终得到的公式，可以很简便的写出以下C++代码：

struct Point{
  double x;
  double y;
};

double Point2LineDistance(Point start, Point end, Point p){
  double A = y2 - y1;
  double B = x1 - x2;
  double M = x - x1;
  double N = y - y1;

  return abs(A * M + B * N) / sqrt(pow(A, 2) + pow(B, 2));
}